afun como ganhar dinheiro
mitzvahceremonies.com:2024/7/3 9:01:55
afun como ganhar dinheiro
Não pela primeira vez, Blair McDougall candidato do Partido Trabalhista afun como ganhar dinheiro Renfrewshire Oriental nos arredores de Glasgow está dizendo 💻 a um eleitor vacilante que as eleições aqui são "tão perto".
Se as previsões de um resultado com pontas não foram 💻 suficientes para motivá-lo, muitas pessoas – incluindo algumas afun como ganhar dinheiro Barrhead que ele está visitando hoje - acabaram recebendo seus boletins 💻 postais. Seus votos serão expresso nos próximos dias ”.
"Quando você chega a esta fase da campanha, está sempre se adivinhando 💻 e imaginando qual é essa pequena vantagem competitiva adicional que pode obter", diz ele. “A verdade: estamos trabalhando duro desde 💻 novembro; batemos às portas por 10 horas ao dia há meses”.
Ao lado afun como ganhar dinheiro Glasgow Sul, o trabalhista Gordon McKee também 💻 está tentando desbancar a SNP com uma mensagem semelhante. Adver que cada voto contava Uma mulher votada anteriormente na 💻 votação no PNS diz "60/40 para os trabalhistas", mas não ultrapassando as linhas: Os especialistas lembram-se dela ter dito ser 💻 um “quatro entre 10” antes; então talvez mais alguma visita possa fazer isso."Eu estive envolvido nos partidos Trabalhista Escocêsio por 💻 dez anos e meio tempo".
Ambos os assentos fazem parte do que se tornou um campo de batalha eleitoral chave - 💻 cinto central da Escócia afun como ganhar dinheiro torno Edimburgo e Glasgow, onde o Partido Trabalhista está mirando no SNP. De acordo com 💻 uma pesquisa YouGov MRP na semana passada s McKee estava à frente enquanto McDougall foi apenas arrastado O polster disse 💻 10 dos lugares Scotland eram lance-up entre as duas partes...
McDougall afun como ganhar dinheiro particular encontra-se na linha de frente do que poderia 💻 ser uma recuperação notável dos trabalhistas, potencialmente restaurando como maior partido da Escócia no Westminster. Depois dum turbilhão 16 meses 💻 iniciado com a renúncia ao primeiro ministro Nicola Sturgeon o grupo trabalhista pode subir para os 20 anos mais altos 💻 e finalmente se recuperar aos números vistos antes seu colapso repentino nas eleições 2024 realizadas após um referendo sobre independência 💻 "O Partido Trabalhista ganhou apenas 1 lugar escocês distante tempo 2024".
No ponto da renúncia abrupta de Sturgeon afun como ganhar dinheiro fevereiro do 💻 ano passado, a sabedoria convencional sugeriu que o Partido Trabalhista estava para uma recuperação estritamente limitada. Com os conservadores afundando-se 💻 os trabalhistas estavam apertava eles ganharem novamente um punhado dos assentos pró -sindicais incluindo Lothian East disputada pelo ex ministro 💻 Douglas Alexander gabinete anterior
O prêmio muito maior, no entanto foi retirar os votos teimosos do SNP. Um feito necessário para 💻 abrir mais assentos e a renúncia de Sturgeon precedeu as dificuldades que o deixaram envolvido afun como ganhar dinheiro uma investigação policial sobre 💻 fundos partidários batalha pela liderança amarga - com certeza depois dos 14 meses da primeira ministra após seu reinado: 💻 John Swinney (que lançou na semana passada) tentou fazer um manifesto constante ao programa nacional das Nações Unidas
Blair McDougall, candidato 💻 trabalhista para Renfrewshire Oriental.
: Katherine Anne Rose/The Observer
"Na esteira da renúncia [de Yousaf], o SNP se encontra cerca de cinco 💻 pontos atrás do Trabalho", disse John Curtice. Professor político na Universidade Strathclyte:" Embora João Swinney tenha estabilizado a nave não 💻 está claro que ele mudou isso para trás." No momento afun como ganhar dinheiro questão você diria trabalho poderia estar no alto 20 💻 anos e possivelmente 30 lugares como um terceiro risco".
As figuras mais importantes do Partido Trabalhista de Keir Starmer aceitam a 💻 acusação que fortuna tem estado ao seu lado, mas argumentam é apenas parte da história. "Sim tivemos alguma boa sorte 💻 ; Mas também trabalhamos duro", diz um deles:" Sempre leva os dois." Eles apontam para o tratamento brutal dado por 💻 Starker sobre Richard Leonard (ex-líder dos trabalhistas escoceses), forçandoafun como ganhar dinheirorenúncia afun como ganhar dinheiro 2024
De fato, os membros do Partido Trabalhista disseram 💻 que East Renfrewshire onde McDougall pretende desalojar Kirsten Oswald da SNP fazia parte dum novo nível dos assentos e 💻 só se tornaram possíveis alvos quando o reinado Holyrood afun como ganhar dinheiro Youssaf entrou no colapso.
A independência também diminuiu como uma questão 💻 abrangente. Tão tóxica foi a atmosfera na eleição de 2024 que, não muito longe das ruas onde McDougall estava fazendo 💻 campanha nesta sexta-feira (24) um canvasador trabalhista era perseguido com serra elétrica e o próprio McCougall é conhecido por dirigir 💻 as campanhas pró união Better Together mas ele mesmo McKee encontra apoiadores do SNP à porta para discutir educadamente sobre 💻 isso tudo afun como ganhar dinheiro seu país natal?!
A queda na saliência da independência tem sido crucial no ressurgimento do Partido Trabalhista, de 💻 acordo com Mark Diffley. "Quase todas as pesquisas eleitorais independentes têm algo entre 20% e 25% das pessoas que apoiam 💻 a Independência dizendo agora votarão nos trabalhistas afun como ganhar dinheiro duas semanas", diz ele: “O líder trabalhista escocês Anas Sawar disse é 💻 esta eleição está prestem apenas para se livrarem dos problemas".
O sentimento de que o Partido Trabalhista agora representa mudança, slogan 💻 eleitoral do partido uma palavra-palavra é evidente entre alguns eleitores. John Mitchell 50 anos afun como ganhar dinheiro Barrhead cita como motivação 💻 a ideia: "Eu espero mais trabalho tem um melhor grito desta vez; É essa alteração e esse não foi", diz 💻 ele."Há pessoas assim eu preciso da ajuda". Jim MacGowan's citar S Langside Glasgow Sul"
Outro eleitor afun como ganhar dinheiro Glasgow Sul diz a 💻 um ativista que o SNP dá voz à Escócia, ao mesmo tempo expressando preocupação com decisão de Starmer para admitir 💻 Natalie Elphicke.
Os incumbentes do SNP também estão lutando duro. Em East Renfrewshire, Owald cita seu registro como deputado parlamentar : 💻 Apesar das pesquisas mais recentes ela diz que apoiar o PNS é necessário "para evitar a volta dos conservadores", apontando 💻 para eles venceram aqui afun como ganhar dinheiro 2024. Ela acrescenta ainda Que os resultados mostraram uma “alternativa esperançosa ao sistema de Westminster”, 💻 e eu acho...
Em outros lugares, o SNP atacou os trabalhistas da esquerda sobre a recusa de Starmer afun como ganhar dinheiro descartar um 💻 limite para benefícios entre dois filhos. Curtice observa: "Pequenos movimentos do Partido Trabalhista e dos sindicatos podem fazer uma diferença 💻 notável nos números das cadeiras mas até agora as pesquisas sugerem que pouco mudou na campanha".
Em Glasgow Sul e Leste 💻 Renfrewshire, alguns eleitores do swing pareciam mais motivados pela desaprovação da performance SNP que pelo entusiasmo para o trabalho. A 💻 resposta sincera de McDougall a essa acusação reflete os cuidados calculado como Starmer recentemente marcado "esperança realista".
"De um modo geral, 💻 as pessoas não estão procurando grandes visões e ideologias", diz McDougall. “Eles procuram alguém que vai apenas se levantar de 💻 manhã para tentar consertar o problema afun como ganhar dinheiroafun como ganhar dinheirovida." Acho uma conversa sobre a qual temos milhares ou centenas vezes". 💻 O sucesso do Partido Trabalhista aqui como no resto da história pode ser saber até onde isso irá acontecer: A 💻 promessa é lenta; progresso constante – chato - tornou-se atrativo!
ª novela exibida pela emissora desde a retomada da dramaturgia em 2004, sendo também a sétima novela das dez.
Foi escrita 👍 por Cristianne Fridman, com a colaboração de Camilo Pellegrini, Jussara Fazolo, Aline Garbati, Carla Piske e Alexandre Teixeira, tendo a 👍 direção geral de Alexandre Avancini e a direção de criação de Alexandre Boury, Viviane Jundi, Hamsa Wood e Arme Manente.
Em 👍 Portugal, a novela foi exibida entre 2 de janeiro e 17 de dezembro de 2012 pelo canal RTP1.[5]
Contou com as 👍 atuações de Guilherme Berenguer, Julianne Trevisol, Thaís Fersoza, Beth Goulart, Lucinha Lins, Luiz Guilherme, Betty Lago e Denise Del Vecchio.[2][6]
"Meu 👍 pai teve um aneurisma em uma casa lotérica.
0 5 apostas
Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos ⚽️ passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência ⚽️ de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança ⚽️ do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente ⚽️ observados.[1]
O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade ⚽️ de falência.
Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ⚽️ ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as ⚽️ cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do ⚽️ próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o ⚽️ do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico ⚽️ do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações ⚽️ perdidas.
Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais ⚽️ comum na roleta.
A popularidade deste sistema se deve à afun como ganhar dinheiro simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de ⚽️ vitórias rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma ⚽️ chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você ⚽️ perder, dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ ⚽️ 1) de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de ⚽️ $ 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se ⚽️ ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da ⚽️ roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de ⚽️ estratégias de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em ⚽️ que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador ⚽️ dobrar afun como ganhar dinheiro aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além ⚽️ de um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, ⚽️ a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como ⚽️ algo certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que ⚽️ a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma ⚽️ vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, ⚽️ pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por ⚽️ Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 ⚽️ por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por ⚽️ Joseph Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição ⚽️ básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis ⚽️ aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo ⚽️ n {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( ⚽️ X n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid ⚽️ X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente ⚽️ observação.[10]
Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y ⚽️ 2 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X ⚽️ 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) ⚽️ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, ⚽️ X n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em ⚽️ relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo ⚽️ t {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( ⚽️ Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle ⚽️ \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de ⚽️ qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é ⚽️ igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo ⚽️ estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma ⚽️ filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de ⚽️ probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ⚽️ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma ⚽️ _{\tau }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ ⚽️ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E P ( | Y t | ) < + ∞ ⚽️ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) ⚽️ = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do ⚽️ evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ ⚽️ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ⚽️ ] É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual ⚽️ os valores esperados são assumidos). É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não ⚽️ em relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo ⚽️ de Itō é um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ] Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número ⚽️ de dimensões) é um exemplo de martingale. O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta ⚽️ com que ele se envolver forem honestos. Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, ⚽️ uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração ⚽️ das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda ⚽️ que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo ⚽️ fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo ⚽️ número de bolas não vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi ⚽️ jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : ⚽️ n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda ⚽️ for jogada. raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que ⚽️ a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} X n ⚽️ + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -} Y n = ( ⚽️ q / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ⚽️ ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [ ⚽️ Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ] = p ( q / p ) ⚽️ X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / ⚽️ p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p ⚽️ ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X ⚽️ n = ( q / p ) X n = Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de razão de ⚽️ verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ⚽️ ... , X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ∏ i = 1 n ⚽️ g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} ⚽️ g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X ⚽️ n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divide em duas ⚽️ amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n ⚽️ = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então { r X n ⚽️ : n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} é um martingale em relação a { ⚽️ X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma série martingale criada por software. Em uma ⚽️ comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o ⚽️ número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto ⚽️ como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se { ⚽️ N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { ⚽️ N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas ⚽️ [ editar | editar código-fonte ] Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação ⚽️ atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | ⚽️ X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior ⚽️ à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o ⚽️ estudo das funções harmônicas. [15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X ⚽️ τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall ⚽️ s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta ⚽️ f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t ⚽️ {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} ⚽️ também é um martingale. Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , ⚽️ . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X ⚽️ n ] ≥ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E ⚽️ [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t ⚽️ . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ ⚽️ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n ⚽️ {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma análoga, ⚽️ um supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n ⚽️ ] ≤ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ ⚽️ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle ⚽️ {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ⚽️ ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle ⚽️ X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e ⚽️ supermartingales [ editar | editar código-fonte ] Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é ⚽️ tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale. Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara ⚽️ e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara ⚽️ com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / ⚽️ 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Uma função convexa de um martingale é um submartingale ⚽️ pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale ⚽️ (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada ⚽️ [ editar | editar código-fonte ] Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , ⚽️ X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de ⚽️ que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau ⚽️ =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} ⚽️ . A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência ⚽️ até o momento e dizer se é hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que ⚽️ um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele ⚽️ pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com ⚽️ base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16] Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se ⚽️ apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X ⚽️ t + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},... } , mas não que isto seja completamente determinado pelo ⚽️ histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} . Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no ⚽️ parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados. Uma ⚽️ das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale ⚽️ e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) ⚽️ t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle ⚽️ X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale. O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, ⚽️ incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale ⚽️ em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial. Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de ⚽️ jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas ⚽️ o evento atual importa. Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o ⚽️ qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente ⚽️ observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1] O movimento browniano parado é um exemplo de martingale. Ele pode ⚽️ modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência. Em contraste, em um processo que não é um ⚽️ martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo ⚽️ seguinte. Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir ⚽️ a incerteza sobre os eventos futuros. Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de ⚽️ todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada. Martingales ⚽️ excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos. É ⚽️ também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas. Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim ⚽️ sucessivamente, até o acerto. Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta. A popularidade deste sistema se deve à afun como ganhar dinheiro ⚽️ simplicidade e acessibilidade. O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis. A essência do sistema de jogo da ⚽️ roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": ⚽️ fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2. Se perdermos na roleta, perderemos ⚽️ a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3.4, por exemplo. duas apostas ganham (1 + ⚽️ 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta. Se você perder uma segunda vez na ⚽️ roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4). Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + ⚽️ 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino ⚽️ [2]. Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII. [3][4] A ⚽️ mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e ⚽️ perdia se a moeda desse coroa. A estratégia fazia o apostador dobrar afun como ganhar dinheiro aposta depois de cada derrota a fim de ⚽️ que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta. Conforme o dinheiro e ⚽️ o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, ⚽️ o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo. Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os ⚽️ apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das ⚽️ razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites ⚽️ às apostas). Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos. O ⚽️ conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse ⚽️ dado este nome. [5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales ⚽️ contínuos. [7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros. [8] Parte da motivação daquele trabalho ⚽️ era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9] Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele ⚽️ é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ⚽️ ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n {\displaystyle n} , E ( | X n | ) ⚽️ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty } E ( X n + 1 ∣ X 1 , . . . , ⚽️ X n ) = X n . {\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.} Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, ⚽️ dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10] Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | ⚽️ editar código-fonte ] Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 , Y 3 , ... {\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},... } é considerada um ⚽️ martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } se, para todo ⚽️ n {\displaystyle n} , E ( | Y n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty } E ( ⚽️ Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ) = Y n . {\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid ⚽️ X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.} Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um ⚽️ processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t {\displaystyle t} , E ( | Y t | ) ⚽️ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty } E ( Y t ∣ { X τ , τ ≤ s ⚽️ } ) = Y s ∀ s ≤ t . {\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.} Isto ⚽️ expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas ⚽️ as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que ⚽️ s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ). Em geral, um processo estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times ⚽️ \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade ⚽️ P {\displaystyle P} se Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ⚽️ ,\Sigma ,P} espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} ⚽️ Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau }} função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t ⚽️ {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)} E ⚽️ P ( | Y t | ) < + ∞ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;} Para todo s ⚽️ {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( ⚽️ [ Y t − Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} ⚽️ em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como ⚽️ Y s = E P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} ⚽️ que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ] É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a ⚽️ filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos). É possível que Y {\displaystyle Y} ⚽️ seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma ⚽️ de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | ⚽️ editar código-fonte ] Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale. O dinheiro de um ⚽️ apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos. Uma urna de Pólya ⚽️ contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por ⚽️ várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por ⚽️ exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e ⚽️ não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração ⚽️ de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle ⚽️ X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n ⚽️ {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle ⚽️ \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. raiz quadrada do número de vezes que a moeda ⚽️ for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p ⚽️ {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} ⚽️ com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -} Y n = ( q / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Então, { Y ⚽️ n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 ⚽️ , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , ⚽️ X n ] = p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p ⚽️ ) X n − 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + ⚽️ q ( p / q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) ⚽️ X n + p ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = ⚽️ Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f ⚽️ {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y ⚽️ n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) ⚽️ {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 ⚽️ , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ⚽️ ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle ⚽️ 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} ⚽️ p {\displaystyle p} [ 14 ] Então { r X n : n = 1 , 2 , 3 , . . . ⚽️ } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} é um martingale em relação a { X n : n = 1 , 2 , 3 ⚽️ , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma série martingale criada por software. Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico ⚽️ particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado ⚽️ é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale ⚽️ sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} ⚽️ processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } ⚽️ {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ] Há duas generalizações populares de ⚽️ um martingale que também incluem casos em que a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à ⚽️ futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , ⚽️ mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria ⚽️ do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas. [15] Assim como um martingale de tempo ⚽️ contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = ⚽️ 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz ⚽️ a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o ⚽️ operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , ⚽️ o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale. Um submartingale de tempo discreto é uma ⚽️ sequência X 1 , X 2 , X 3 , . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a E [ X ⚽️ n + 1 | X 1 , . . . , X n ] ≥ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da ⚽️ mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ ⚽️ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em ⚽️ teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o ⚽️ prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X ⚽️ 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n ⚽️ + 1 | X 1 , . . . , X n ] ≤ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma ⚽️ forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s ⚽️ } ] ≤ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria ⚽️ do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo ⚽️ "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 ⚽️ , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ] Todo martingale é também ⚽️ um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale. Considere novamente ⚽️ um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que ⚽️ a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 ⚽️ / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 ⚽️ {\displaystyle 1/2} Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de ⚽️ um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X ⚽️ n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ] Um tempo de parada em ⚽️ relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } é uma ⚽️ variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou ⚽️ a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X ⚽️ 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} . A intuição por trás da definição é que, a qualquer ⚽️ tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar. Um ⚽️ exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ⚽️ ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), ⚽️ mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16] Em alguns ⚽️ contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ ⚽️ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle ⚽️ X_{t+1},X_{t+2},... } , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} . Isto ⚽️ é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em ⚽️ algumas das provas em que tempos de parada são usados. Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X ⚽️ t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, ⚽️ então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t ⚽️ τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale. O conceito de ⚽️ um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma ⚽️ que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor ⚽️ inicial.
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2024/7/3 9:01:55