áposta ganha
mitzvahceremonies.com:2024/12/5 0:22:16
áposta ganha
Nota do Editor:
Uma versão desta história aparece no boletim da áposta ganha , "Enquanto isso", na revista “Middle East”, um ☀️ olhar de três vezes por semana dentro das maiores histórias do país.
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Com apenas quatro anos, Julia Abu Zeiter sofre ☀️ de uma doença neurológica rara que pode ser fatal sem medicação.
A guerra de nove meses áposta ganha Gaza quase tirou a ☀️ vida da Julia, já que os combates e deslocamento cortaram seu acesso ao tratamento.
Depois de uma árdua jornada, ela foi ☀️ finalmente evacuada do enclave devastado pela guerra áposta ganha 27 junho.
"O deslocamento foi realmente difícil, os eventos áposta ganha Gaza são muito ☀️ difíceis. O que Julia viu era bem duro", disse Dareen à áposta ganha ndia
Julia sofre de um distúrbio neurológico ☀️ raro chamado hemiplegia alternada da infância, ou AHC. Causa episódios recorrentes e paralisias com risco à vida apreensões? Não existe ☀️ cura para o mal que é estimado áposta ganha aproximadamente 1 num milhão nascimento (um) parto: seus pacientes são referidos como ☀️ "bomba-relógio humano"e precisam ser constantemente monitorados quanto aos sinais do episódio iminente - assim quando ele ocorre devem rapidamente administrar ☀️ medidas salvando vidas!
Julia e Dareen se encontraram a bordo de um hospital flutuante administrado pelos Emirados Árabes Unidos, onde ficaram ☀️ por uma semana depois que deixaram Gaza através da travessia israelense Kerem Shalom no sul.
Os dois palestinos estavam entre cerca ☀️ de uma dúzia pacientes que deixaram o hospital flutuante para continuar seu tratamento na capital dos Emirados Árabes Unidos, Abu ☀️ Dhabi. A maioria desses doentes são crianças incluindo duas pessoas com leucemia
Localizado na costa norte da Península do Sinai, ☀️ no Egito (norte), o hospital fica a cerca de 40 quilômetros áposta ganha Rafah – cidade mais ao sul que agora ☀️ está arruinada depois dos ataques israelenses.
A cidade também abrigou a passagem de fronteira Rafah com o Egito, uma ponte terrestre ☀️ crucial através da qual dois terços do auxílio que entra áposta ganha Gaza passaram. O cruzamento foi fechado desdeáposta ganhaapreensão ☀️ pelos militares israelenses ”.
O navio de 100 leitos dos Emirados Árabes Unidos recebeu 2.400 palestinos feridos desde fevereiro, segundo o ☀️ diretor do hospital Dr. Ahmed Mubarak ”.
Segundo Mubarak, Julia é "uma vítima invisível" da guerra e está presa no que ☀️ Médicos Sem Fronteiras (MSF), também conhecido como Doutores sem fronteiras ("Médicos"), descreveu áposta ganha maio de 2013 as mortes silenciosa do ☀️ país por causa das privações deliberada. A chefe dos programas para emergência na organização israelense Mari Carmen Violese disse: “Os ☀️ bloqueio?- atrasos - restrições à ajuda humanitária – tornaram impossível a entrega dessas medidas”.
Julia e Dareen são dois dos inúmeros ☀️ palestinos deslocados pela guerra áposta ganha Gaza, que Israel lançou como resposta ao ataque do Hamas no dia 7 de outubro ☀️ (que matou 1.200 pessoas) na Faixa israelense.
A guerra de Israel já matou mais do que 38.000 pessoas áposta ganha Gaza, segundo ☀️ o Ministério da Saúde lá. Swathes of the enclave foram transformados a escombros e quase toda população tira' 'de ☀️ dois milhões é internamente deslocada
Julia e Dareen foram forçadas a deixaráposta ganhacasa no norte de Gaza quando começou o ☀️ conflito. A menina, que tinha quatro anos testemunhou "explosões" por toda parte - disse ela à Reuters áposta ganha um comunicado ☀️ divulgado pela agência AFP
Um cerco punitivo por Israel sufocou o enclave, levando a ajuda humanitária até um gotejamento e impedindo ☀️ os moradores de Gaza entrarem ou saírem. Para Julia isso significava ficar sem seus medicamentos que desencadearam uma série com ☀️ risco à vida convulsões ”.
Cerca de um mês após a guerra, Julia ficou sem três dos cinco medicamentos que estava ☀️ tomando. Isso desencadeou uma paralisia por seis meses e ela não tomou nenhum medicamento para o tratamento com artrite reumatóide ☀️ áposta ganha cães durante os últimos 6 anos da semana passada ”.
Com a ajuda do Fundo de Socorro à Infância da ☀️ Palestina (PCRF), uma organização não-governamental com sede nos EUA, Julia finalmente conseguiu evacuar através das travessias Kerem Shalom áposta ganha Israel.
No ☀️ corredor de alas improvisadas da Julia estava Ibrahim, que foi ferido áposta ganhaáposta ganhacasa familiar na Jabalya (norte do Gaza), ☀️ quando um ataque aéreo atingiu seu prédio no dia 21. Ele tinha completado sete anos naquele mesmo Dia
Ibrahim estava a ☀️ bordo do navio comáposta ganhatia, Alaa de 21 anos. Tanto Alaya quanto Abraão ficaram feridos no ataque aéreo depois ☀️ que sobreviveram após serem retirados dos escombros ”, disse ela à AFP áposta ganha um comunicado divulgado pela agência Reuters (Reuters).
As ☀️ lesões do menino não cicatrizaram adequadamente, exigindo tratamento adicional.
"Ibrahim e eu éramos os únicos dois sobreviventes", disse Alaa à ☀️ áposta ganha , acrescentando que o ataque aéreo matou 30 membros deáposta ganhafamília. Eles deixaram Gaza áposta ganha 28 abril através ☀️ da travessia Rafah apenas uma semana antes das forças israelenses tomaram controle dele
"Olha, este é o meu pai", disse ☀️ Ibrahim segurando uma 
de seu Pai que morreu durante um ataque aéreo no telefone da tia.
Antes de perderemáposta ganha☀️ casa e família, Alaa permaneceu no norte da Faixa até abril deste ano quando os moradores estavam passando fome severa ☀️ enquanto a ajuda lutava para alcançá-los áposta ganha meio às operações militares israelenses.
Em meados de março, a Classificação Integrada da Fase ☀️ para Segurança Alimentar (IPC) avaliou que o surto é “iminente” no norte do país e disse ter sido projetado entre ☀️ então até maio.
Na terça-feira, a Organização das Nações Unidas (ONU), citando um relatório de especialistas independentes disse que as ☀️ recentes mortes por mais crianças palestinas devido à fome e desnutrição áposta ganha Gaza indicam uma escassez generalizada na faixa inteira ☀️ da região do leste palestino.
"Havia fome inacreditável", disse Alaa à áposta ganha , sentado áposta ganha uma cama de hospital enquanto ☀️ Ibrahim estava parado. “Vivemos a Fome e os principais ingredientes da comida não estavam lá”, contou ela ao canal norte-americano ☀️ The Guardian NDIA
"A fome era mais dura para nós do que a guerra áposta ganha si", disse ela à áposta ganha ☀️ . “Aqueles mortos morreram, mas é essa ânsia quem nos destrói.”
Enquanto Julia e Ibrahim conseguiram sair, milhões de outros permanecem ☀️ presos na zona da guerra com poucos sinais do acordo.
Quase 26 mil crianças foram mortas ou feridas áposta ganha Gaza nos ☀️ últimos seis meses, disse o grupo de ajuda Save the Children (Salvar as Crianças) no mês passado.
"Mesmo áposta ganha meio às ☀️ complexidades da guerra, como não podemos entender uma verdade universal: a criança é um menino", disse o porta-voz do UNICEF ☀️ James Elder no mês passado pedindo por “um cessar fogo que leve reféns para casa e pare de matar crianças”.
Dareen, ☀️ tia de Julia disse que a responsabilidade sobreáposta ganhasobrinha era grande demais para ser cumprida.
"Ela precisa deáposta ganhamãe ☀️ e pai. Eu não posso ser a própria Mãe ao mesmo tempo", disse ela à áposta ganha , que no ☀️ final do dia era uma criança com um filho."
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A primeira partida, a quarta, entre norte-americanos, 🌛 norte-libres e britânicos, teve início em 2 de agosto.
Com o novo nome, com o programa, é possível para ter uma 🌛 melhor
performance, pois também é possível ter uma boa participação dos jogadores favoritos, sendo assim, os jogadores favoritos em todas as 🌛 partidas anteriores.
O evento tem como objetivo testar a força de um atleta, e a maneira de conduzir o esporte ao 🌛 ponto de conseguir o nível de habilidade e o de resistência exigido.
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Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos 🔔 passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência 🔔 de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança 🔔 do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente 🔔 observados.[1]
O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade 🔔 de falência.
Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode 🔔 ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as 🔔 cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do 🔔 próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o 🔔 do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico 🔔 do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações 🔔 perdidas.
Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais 🔔 comum na roleta.
A popularidade deste sistema se deve à áposta ganha simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de 🔔 vitórias rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma 🔔 chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você 🔔 perder, dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 🔔 1) de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de 🔔 $ 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se 🔔 ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da 🔔 roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de 🔔 estratégias de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em 🔔 que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador 🔔 dobrar áposta ganha aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além 🔔 de um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, 🔔 a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como 🔔 algo certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que 🔔 a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma 🔔 vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, 🔔 pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por 🔔 Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 🔔 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por 🔔 Joseph Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição 🔔 básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis 🔔 aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo 🔔 n {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( 🔔 X n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid 🔔 X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente 🔔 observação.[10]
Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 🔔 2 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 🔔 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) 🔔 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, 🔔 X n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em 🔔 relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo 🔔 t {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( 🔔 Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle 🔔 \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de 🔔 qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é 🔔 igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo 🔔 estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma 🔔 filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de 🔔 probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ 🔔 ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma 🔔 _{\tau }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ 🔔 t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E P ( | Y t | ) < + ∞ 🔔 ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 🔔 = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 🔔 evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 🔔 s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 🔔 ] É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 🔔 os valores esperados são assumidos). É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 🔔 em relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 🔔 de Itō é um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ] Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 🔔 de dimensões) é um exemplo de martingale. O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 🔔 com que ele se envolver forem honestos. Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, 🔔 uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração 🔔 das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 🔔 que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 🔔 fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 🔔 número de bolas não vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi 🔔 jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 🔔 n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 🔔 for jogada. raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que 🔔 a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} X n 🔔 + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -} Y n = ( 🔔 q / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 🔔 ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [ 🔔 Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ] = p ( q / p ) 🔔 X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 🔔 p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 🔔 ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 🔔 n = ( q / p ) X n = Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de razão de 🔔 verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 🔔 ... , X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ∏ i = 1 n 🔔 g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 🔔 g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X 🔔 n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divide em duas 🔔 amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 🔔 = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então { r X n 🔔 : n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} é um martingale em relação a { 🔔 X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma série martingale criada por software. Em uma 🔔 comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 🔔 número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 🔔 como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se { 🔔 N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 🔔 N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 🔔 [ editar | editar código-fonte ] Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 🔔 atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 🔔 X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 🔔 à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 🔔 estudo das funções harmônicas. [15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 🔔 τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 🔔 s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 🔔 f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t 🔔 {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 🔔 também é um martingale. Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 🔔 . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X 🔔 n ] ≥ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 🔔 [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 🔔 . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 🔔 f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 🔔 {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma análoga, 🔔 um supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n 🔔 ] ≤ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 🔔 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle 🔔 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 🔔 ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 🔔 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e 🔔 supermartingales [ editar | editar código-fonte ] Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é 🔔 tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale. Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 🔔 e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 🔔 com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 🔔 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Uma função convexa de um martingale é um submartingale 🔔 pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 🔔 (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada 🔔 [ editar | editar código-fonte ] Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 🔔 X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 🔔 que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 🔔 =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 🔔 . A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 🔔 até o momento e dizer se é hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 🔔 um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 🔔 pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 🔔 base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16] Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 🔔 apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 🔔 t + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},... } , mas não que isto seja completamente determinado pelo 🔔 histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} . Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 🔔 parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados. Uma 🔔 das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 🔔 e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 🔔 t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 🔔 X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale. O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 🔔 incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 🔔 em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
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